Analiza matematyczna dla fizyków t. 2

Drugi tom skryptu przeznaczony jest przede wszystkim dla fizyków, poza materiałem wykładanym w ramach analizy matematycznej (teoria miary i całki; całki krzywoliniowe w ujęciu form różniczkowych) zawiera również ważny dla fizyków materiał: równania różniczkowe, funkcje holomorficzne, elementy teorii dystrybucji i elementy teorii przestrzeni Hilberta.

Spis treści

 

Elementy teorii równań różniczkowych zwyczajnych (Całkowanie odwzorowań o wartościach w przestrzeni Banacha *Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego rzędu pierwszego *Niektóre typy równań różniczkowych skalarnych *Istnienie i jednoznaczność rozwiązań problemu Cauchy'ego *Ciągła zależność rozwiązań problemu Cauchy'ego od warunków początkowych oraz od parametru *Rozwiązania przybliżone problemu Cauchy'ego *Twierdzenie Peana *Charakteryzacja zbioru rozwiązań problemu Cauchy'ego *Równanie liniowe *Układy równań różniczkowych; równania wyższych rzędów *Układy dynamiczne *Dowody twierdzeń: Lasoty-Yorke'a oraz Schaudera o punkcie stałym *Zadania)

Teoria miary i całki Lebesgue'a (Miara abstrakcyjna *Generator miary *Funkcje mierzalne *Miara Lebesgue'a *Całka względem miary *Całka Lebesgue'a; porównanie z całką Riemanna *Twierdzenie Fubiniego *Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebegue'a *Całka Lebesgue'a-Stieltjesa *Przestrzenie funkcji całkowalnych *Zadania)

Formy różniczkowe (Przestrzeń tensorów *Iloczyn zewnętrzny *Pola wektorowe *Formy różniczkowe *Lemat Poincarágo *Całkwanie form różniczkowych po łańcuchach *Rozmaitości zanurzone w R *Pola wektorowe na rozmaitości (wzmianka o równaniach różniczkowych zwyczajnych na rozmaitości) *Formy różniczkowe na rozmaitościach *Całkowanie form różniczkowych na rozmaitościach *Element objętości na rozmaitości; konsekwencje twierdzenia Stokesa *Ekstrema funkcji określonych na rozmaitościach *Ogólne pojęcie rozmaitości *Twierdzenie Frobeniusa *Zadania)

Funkcje holomorficzne (Wiadomości wstępne *Różniczkowalność w sensie zespolonym *Przykłady funkcji holomorficznych *Całka funkcji zmiennej zespolonej *Wzór całkowy Cauchy'ego *Szeregi Laurenta; osobliwe punkty izolowane *Residua *Przekształcenie Laplace'a i jego zastosowanie do równań różniczkowych *Informacje o równaniach różniczkowych w dziedzinie zespolonej *Zadania)

Wstępne pojęcia teorii dystrybucji (Przestrzenie liniowo-topologiczne *Podstawowe klasy funkcji *Dystrybucje i ich pochodne *Dystrybucje temperowane *Przekształcenie Fouriera na S i S' *Zadania)

Elementy teorii przestrzeni Hilberta (Pojęcie przestrzeni Hilberta *Twierdzenie o rzucie prostopadłym *Funkcjonały liniowe w przestrzeniach Hilberta *Odwzorowania liniowe w przestrzeniach Hilberta *Analiza widmowa operatorów samosprzężonych *Zadania)

Algebry Banacha

Całkowanie w przestrzeniach Hilberta